教师政审主要涉及以下部门：
负责面审，即实地考察考生的工作或学习单位，并与考生的主管或老师进行面谈，以了解考生的具体情况。
参与教师政审，通过面审或函审的方式对考生进行审查。面审包括实地考察，函审则涉及调用考生的档案进行审查。
在某些情况下，如瑞昌市的案例，用人单位会与瑞昌市人社局、教育局共同组织考察，参照相关实施细则和程序进行。
在德安县的案例中，考察由招聘学校及县人社局、县教体局共同组织，负责对体检合格的考生进行考察。
在德安县的案例中，区级教育局也参与了考察工作。
负责领导和组织实施考核和政审工作，具体工作由县级以上公安机关按照省级公安机关的要求实施。
综合以上信息，教师政审通常由招考单位人事部门或市、县人事局、组织部负责，具体实施过程中可能涉及用人单位、招聘学校及相关部门的协作。在特殊情况下，如政审内容涉及到直系亲属或主要社会关系的情况，还可能由上级党组织或公安机关介入调查。