公安机关受理调查的案件主要包括以下几类：
除法律规定应当由监察机关立案调查的职务犯罪以外，其他刑事案件均可以由公安机关直接受理。
公安机关接到公民报案、控告、举报及违反治安管理行为人或者触犯《刑法》的犯罪嫌疑人主动投案，以及其他行政主管部门、司法机关移送的案件，受理后经领导批准，立为刑事或治安案件查处的行为。
治安案件是指公安机关和基层保卫组织依法对需要给予治安行政处罚的违反《治安管理处罚法》的行为和不够立为刑事案件的轻微违法犯罪行为，通过立案确认、进行查处的案件。
公安机关受理报警的范围包括危及人身财产安全的群体性事件、自然灾害等突发事件，以及与违法犯罪有关的其他报警。
公安机关还会根据案件情况，及时发布通缉令、悬赏公告等，发动社会力量共同打击犯罪活动。
总结来说，公安机关受理调查的案件范围广泛，涵盖了刑事案件、治安案件、群体性事件和突发事件等。公安机关在接到相关报警后，会迅速出警，进行现场勘查、调查取证等工作，以查明案件事实，确定犯罪嫌疑人，并依法采取强制措施，保障案件的顺利侦破和诉讼程序的进行。