承兑到期后，应该向 最初出票人的承兑银行进行支付。这是因为只有承兑银行才承担最终承兑和结算账款的责任。无论票据流转到何处，最终都需要回到出票人的承兑银行进行兑现。
具体操作步骤如下：
持票人可以选择任何一家开设承兑业务的银行进行兑现。这可以是持票人平常经常往来的银行，也可以是其他任何一家银行。
在承兑汇票到期前3~5天，持汇票及单位预留印鉴到单位开户银行办理委托收款手续。承兑行在收到委托并审核无误后，会在到期日通过资金汇划或支付清算系统把款划到收款人账户。
银行承兑汇票到期后的托收期限是10天，持票人需要在10天内到开户行办理委托收款手续。如果选择转支方式，即通过其他银行支付汇票，则需要按照汇票到期日期前一天的央行最新结算的贴现利率来决定支付的金额，并且原银行承兑的汇票必须到支票开出银行进行背书转让。
综上所述，承兑到期后，持票人应该向最初出票人的承兑银行办理委托收款手续，以确保票据的有效性和款项的顺利收回。